> иметь отдельный флаг и постоянно их синхронизировать, либо пересоздавать новый Set из старого

ложная дихотомия. Вот тебе попрактиковаться дизайн апи:

    const names = useSet();
    // Создастся настоящий Set.
    // Но хук вернет не его. Хук вернет прокси над ним.
    // К настоящему сету доступа не имеешь.

    names.add('Andy');
    // Прокси перенаправляет вызов настоящему сету.
    // После этого прокси пересоздается, чтоб поменять ссылку.
    // А внутренний сет живет до конца лайфсайкла компонента.

    names.has('John');
    // Прокси перенаправляет вызов настоящему сету.
    // Конкретно в has() ссылку менять не требуется - ничего не поменялось.

Pеализуется такой апи минут за 10. Ну ладно, за 30, если с юнит-тестами. Под прокси имею в виду "ведет себя как Set, крякает как Set, и может даже умеет проходить условие instanceof Set".